結論から言うと、
ダウンロードファイルを一時保存するためのディレクトリの利用制限に引っかかったためでているエラーで、php.inに手を加えて、ダウンロード先のディレクトリを一時的に任意の場所（つまり制限がかかってないところ）に変更するとうまくいきました。

その結論にたどり着くまでの事情

とあるサーバに置いているサイト、WordPressの本体のアップデートをするときに、

ダウンロードに失敗しました。: ファイルのチェックサム (*) が期待値 (\\\\\\\\\\\) と一致しません。

というエラーがでて出来ない日が続きました。

ウェブで検索してもそれらしき理由は出てこない。

それでも、一時期はjaではない方でアップデートできてたのですが、そちらも出来なくなり、また検索したら、今度はWebARENAのヘルプが引っかかりました。

WordPressのバージョンをアップグレードしようとすると「ダウンロードに失敗しました。：ファイルのチェックサム（****）が期待値（****）と一致しません。インストールに失敗しました。」とエラー表示されます。

アップデート出来ないサイトはWebARENAやスマイルサーバ、同じ系列っぽい。

ためしにWebARENAで上記ヘルプ通りにするときちんとアップデート出来ました。
スマイルサーバもほぼ同じ方法でできます。

スマイルサーバでの方法を簡単に説明します。

1. コントロールパネルログイン後に表示されるサーバのIP（お客さまIPアドレス）はメモしておく
2. [WEB＆FTP管理] > [CGI管理] > [ php.ini 編集]をクリックして、phpバージョンを選択し、編集のボタンをクリックし、下記の内容を追加
   sys_temp_dir=”/virtual/お客さまIPアドレス/data/<任意のディレクトリ名>”
3. dataフォルダ（ドキュメントフォルダの１つ上）に<任意のディレクトリ名>を作る。
4. WordPressのアップデートをする。
5. 上手くいったら、php.iniの編集で追加した部分を消す。